lunes, 12 de septiembre de 2011

REGLAS DE EQUIVALENCIA

Si nosotros conmutamos 5 + 7 obtendremos la fórmula equivalente de 7 + 5. Y en el lenguaje común, las proposiciones "Cali es una ciudad colombiana y Medellín  es una ciudad colombiana", "Medellín es una ciudad colombiana y Cali es una ciudad colombiana" son equivalentes.

Al formalizar la proposición "Cali es una ciudad colombiana" con A, y "Medellín es una ciudad colombiana" con P, tenemos la fórmula A Ù P que conmutadas equivalen a P Ù A. En lógica, el signo de equivalencia es Û con el cual podemos relacionar las fórmulas anteriores así:
(A Ù P)Û (P Ù A).

También son equivalentes aquellas fórmulas que, aún teniendo escritura diferente, tienen valores de verdad idénticos y el mismo sentido. Por tanto, si unimos dos fórmulas equivalentes mediante el bicondicionador y verificamos su valor de verdad, el resultado será forzosamente tautológico. Así verificamos la fórmula del ejemplo anterior
A   P  (A Ù P)Û (P Ù A)
v   v      v     v     v
f    v      f     v      f
v   f       f     v      f
f    f       f     v      f


Debe anotarse que las equivalencias no sirven, de por sí, para llegar a nuevas conclusiones; con todo, prestan buenos servicios en los procesos inferenciales debido a que permiten cambios en la morfología de una determinada fórmula. Existen diversas equivalencias tautológicas, pero se abordarán las siguientes reglas lógicas utilizadas en procesos lógicos y matemáticos:

La conmutación: Si en las matemáticas el orden de factores no altera el producto, en lógica el orden de los argumentos no altera el resultado en ningún caso, con excepción de la implicación. El ejemplo anterior es una clara conmutación. Pero la fórmula (A ® B) Û (B ® A) es una conmutación incorrecta por tratarse de una implicación. El mayor uso de la conmutación tiene lugar en el caso de la conjunción y de la disyunción inclusiva:

                (A Ù B) « (B Ù A)
                (A v B) « (B v A)

La transposición: la entendemos con el ejemplo "si llueve, hace frío" y "si no hace frío, es que no llueve" son equivalentes por transposición. La formula A ® B, transponiéndola, da origen a la equivalencia:

                (A ® B) Û (~ B ® ~ A)

La transposición es una especie de conmutación con ayuda del negador. La implicación es el único caso que admite la transposición.

La asociación: La propiedad asociativa se denomina algunas veces principio de agrupación para la adición, significando que no da importancia la manera como se agrupen los números para ser sumados. La equivalencia se da cuando representamos por A, B, C series de proposiciones unidas por el conjuntor y el disyuntor inclusivo, así:

Cali, Medellín, Barranquilla son ciudades colombianas: A Ù B Ù C.
Podemos ir a bailar ó a comer ó al cine: A v B v C.

Utilizando los paréntesis, los argumentos de las fórmulas anteriores pueden quedar asociados así:

  (A Ù B) Ù C       (A v B) v C
   A Ù (B Ù C)       A v (B v C)

En las fórmulas precedentes, la distinta colocación de los signos de agrupación, no hace variar el valor de verdad de las mismas. Así en el ejemplo 4 =  2 + 2
                              1.-  4 = 3 + 1
                              2.-  4 = (2 + 1) + 1
                              3.-  (2 + 1) + 1 = 2 + (1 + 1)
                              4.-  4 = 2 + (1 + 1)
                              5.-  4 = 2 + 2

La distribución: Se da la equivalencia si observamos la fórmula siguiente: A Ù (B v C). Evidentemente el conjuntor une A con B y C.

La letra A de la fórmula anterior puede distribuirse conjuntivamente con B y C por ser factores comunes, resultando las siguientes fórmulas equivalentes:
[A Ù (B v C)] Û [(A Ù B) v (A Ù C)]

Análogamente realicemos las siguientes distribuciones:

         [A v (B Ù C)] Û  [(A v B) Ù (A v C)]
         [A ® (B Ù C)] Û [(A ® B) Ù (A ® C)]
         [A ® (B v C)] Û [(A ® B) v (A ® C)]


La disyunción exclusiva: Si confrontamos las tablas de verdad del disyuntor exclusivo y del bicondicionador, se observará que sus valores son contrarios.

Además, si se niega el bicondicionador, resultarán debajo del negador los valores:

                        ~ (A Û B)
                   f       v
                   v      f
                   v      f
                   f      v
Lo cual nos permite observar que son los mismos que los de la disyunción exclusiva. Por tanto, una disyunción exclusiva equivale a una bicondicional negada representable por la fórmula:
 (A w B) Û ~ (A Û B)

La bicondicional: Recordemos que el bicondicionador se presenta por la flecha doble. Consecuentemente, en la fórmula A Û B se tiene que A implica a B y B implica a su vez a A. Por tanto, ambas letras son implicantes e implicadas.
Y al observar lo anterior, podemos deducir la siguiente equivalencia:
                                 (A Û B) Û [A ® B) Ù (B ® A)
Por lo que queda claro que una condicional equivale a dos condicionales.

La condicional: Se da en equivalencias con términos de conjunción y disyunción inclusiva.

En términos de conjunción, conviene observar que la expresión "no es el caso que sea dependiente y no subdesarrollado" equivale a la condicional: si es dependiente entonces es subdesarrollado. Y representando cada una de las proposiciones por A y B sucesivamente, tenemos la siguiente equivalencia:
                              (A  ® B) Û -(A Ù ~ B)

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