lunes, 12 de septiembre de 2011

BREVE HISTORIA DE LA LÓGICA


Algunos afirman que la lógica empieza su historia alternativamente con la de la filosofía veremos esto en detalle. Es difícil saber cuándo y dónde se  inició el estudio de la lógica, no obstante hay una gran cantidad de información sobre  sus orígenes, en particular en Internet.  Al tratar  de ubicar un origen de la lógica, se llega a la conclusión de que (como en el caso de todas las ciencias), éste ocurre durante la aparición del  hombre  primitivo.  En  efecto,  siendo  la  Lógica  una ciencia del razonamiento y de la inferencia, es sensato pensar que con el surgimiento del primer hombre con capacidad de razonar y obtener deducciones o  inferencias,  erradas  o  no,  en  ese  mismo momento apareció la semilla de la lógica. De hecho, se ha distinguido al hombre (o  creemos  distinguirlo)  del  resto  de  los  animales  por  sus capacidades de razonamiento  lógico, capacidades  del pensamiento ó capacidades lógicas-,  esto es, razonar, deducir o  inferir; tal cosa ha ocurrido porque el hombre mismo ha establecido (unilateralmente) que es precisamente él, quien tiene la capacidad de razonamiento más alta del reino animal.

LA MATEMÁTICA Y LA LÓGICA ALMAS GEMELAS. 

Hace miles de años los griegos descubrieron la importancia del Ser, y trataron de buscar la verdadera esencia de todas las cosas reales dentro del mundo sensible, buscaban el “Verdadero Ser” en una cosa sensible; finalmente Pitágoras[1] quien fue matemático, astrónomo, originario de la isla de Samos, situado en el Mar Egeo, (580,500 a. de C.). Pitágoras fundó en Crotona (al sur de Italia) una asociación que no tenía el carácter de una escuela filosófica sino el de una comunidad religiosa. Consideró que todo lo que existe se encuentra ordenado con bases numéricas, que todas las cosas son números, los cuerpos celestes guardan armonía entre sí y por esta razón hay música entre las esferas. Descubrió el método para representar los números mediante el agrupamiento de piedras (tal es el origen de la palabra calculo, de calsis; que significa piedra. Por este motivo, puede decirse que las ciencias matemáticas han nacido en el mundo griego de una corporación de carácter religioso y moral. Se debe a Pitágoras el carácter esencialmente deductivo de la Geometría y el encadenamiento lógico de sus proposiciones, cualidades que conservan hasta nuestros días.

Pitágoras descubre en los números y en las figuras geométricas, la esencia de todas las cosas, considera que todos los entes son imitación de los objetos de la matemática, “los números son las cosas mismas”, son seres inmutables y eternos. Los números tienen cualidades extrañas, recordemos el famoso teorema que postula: “...La suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa en el triángulo rectángulo”. el 1 es el punto, el 2 la línea, el 3 la superficie, el 4 el sólido, el 10 la suma de los cuatro primeros, el número capital; en términos geométricos existen números cuadrados, oblongos, planos, cúbicos, números místicos dotados de cualidades especiales, números limitados e ilimitados, pares e impares, primos, múltiplos, racionales e irracionales.[2].

Pitágoras comprueba la veracidad de su teoría matemática del ser, con la música. Al observar detalladamente una lira descubre la relación entre las longitudes de las cuerdas y las notas correspondientes, con sus sonidos diferentes, lo hace darse cuenta de las distintas notas musicales, “la media”, “la cuarta”, “la octava”, esta reflexión lo condujo hacía la idea de “que todo cuanto vemos y tocamos, las cosas tal y como se presentan, no existen de verdad, sino que son otros tantos velos que ocultan la verdadera y autentica realidad, la existencia real que está detrás de ella y que es el número”.[3]

En la búsqueda infinita del ser, Heráclito ‘El Oscuro’ ya que de sus escritos sólo nos quedan fragmentos, unos pocos trozos de papel, lo que hace mas difícil su interpretación, busca un mundo dinámico, en el que las cosas constantemente están cambiando, en el fluir de la realidad, “Lo contrario se pone de acuerdo; y de lo diverso la hermosa armonía, pues todas las cosas se originan en la discordia”.[4] Por tanto todo se inicia en un principio abstracto llamado ‘Logos[5].

El mundo cosiste para Heráclito en un equilibrio de fuerzas contrarias que lo mantiene vivo, “polemos es la madre de todas las cosas”. El fuego es el principio de todas las cosas; una llama aparentemente está quieta, pero internamente es un continuo cambio; así las cosas son un eterno fluir.

El hombre sabio es aquel que llega a comprender el principio de todas las cosas, la mayoría de los hombre y nunca comprenderán estos principios, son ignorantes según Heráclito.

Parménides realiza una crítica contundente al pensamiento de Heráclito, calificando su tesis de absurda y formulando el primer principio de la Lógica, denominado “principio de identidad”, el mismo que se formula como “el ser es; el no ser no es”.[6] Parménides afirma que el movimiento no existe. Todo cambio sólo puede explicarse como un paso del no ser al ser;  fue inspirado por la práctica de los primeros griegos matemáticos, entre ellos Pitágoras. Así que fue significativo que Parménides hubiera  tenido un maestro, Pitágoras. Pero la historia del Pitagorismo en este periodo inicial está envuelta en un misterio, siendo difícil separar hechos de leyendas, El mundo es una esfera sin tiempo y sin movimiento. Lo que nosotros consideramos como movimiento es una ilusión.

Parménides no fue informado de las reglas generales de la lógica  subrayadas en sus argumentos, incluso para su discípulo Zenón de Elea (siglo 5 a.C.) quien fue el autor de muchos argumentos, conocidos colectivamente como "Paradojas de Zenón".[7]

Zenón De Elea[8] es el primer filósofo matemático que plantea el primer razonamiento “reducción al absurdo”, y es también el primero en señalar la imposibilidad de traducir con todo rigor una realidad continua a un lenguaje discontinuo, y una realidad en movimiento a un lenguaje estático; sus argumentos se dividen en dos grupos, unos a la multiplicidad y otros a la divisibilidad de las cosas, todos estos argumentos han llegado a nosotros gracias a Aristóteles[9].

El lenguaje sería sometido a un riguroso análisis, al distinguirse diversos tipos de proposiciones, así como los elementos constitutivos de la proposición; Sócrates inicia la filosofía de los conceptos y Platón con la creación del proceso de división.[10]
Platón continúo el trabajo comenzado por los sofistas y por Sócrates. En el caso de los Sofista se distinguió por resaltar la diferencia entre verbos y nombres (incluyendo sustantivos y adjetivos). El remarco, que una sentencia completa no puede consistir en un nombre o un verbo solamente pues requiere por lo menos una de cada uno. Esta observación indica que el análisis del lenguaje se ha desarrollado hasta el punto de investigar la estructura interna de las sentencias, en adición a la relación de sentencias en su totalidad para alguna otra. Este nuevo descubrimiento seria un arte de gran desarrollo para los pupilos aristotélicos de Platón (384-322 a. C.)
Hay pasajes en los escritos de Platón donde sugiere que la práctica de argumentos en la forma de diálogo (dialéctica platónica) tiene un significado largo, más allá del uso ocasional para investigar un problema en particular. La sugerencia es que la dialéctica es una ciencia de su propio criterio o quizás un método para llegar a una conclusión científica en otros campos.

Aristóteles[11] nació en Estagira en el año 383 a. C.; ingresó a la escuela de Platón a los 17 años y permaneció en ella 20 años más, hasta el fallecimiento de su maestro, en el año 342, Aristóteles fue llamado por Filipo, rey de Macedonia, a Pella, para hacerse cargo de la educación de Alejandro. Nicómaco, padre de Aristóteles, había sido medico de la corte de Macedonia. Para la tarea de la conquista y unificación de todo el mundo griego, Aristóteles preparó a Alejandro, cuando éste sube al trono Aristóteles regresa a Atenas para fundar el Liceo. En el año 323 a. C. fallece Alejandro; la insurrección de un partido nacionalista contra el rey, hace necesario que Aristóteles salga huyendo de Atenas hacia Calcis, hasta el final de sus días.

Es sabido que los textos de los autores griegos en su conjunto y los de Aristóteles en particular, llegaron a nosotros después de un sinnúmero de vicisitudes: pérdidas, recuperaciones, agregados y mutilaciones, El seguimiento de un escrito aristotélico es una historia apasionante para los que alguna vez lo hemos intentado. La historia un tanto novelada de los vaivenes de estos escritos hasta Andrónico de Rodas (siglo I a.C.), quien los organiza por primera vez seriamente, es, según los testimonios de Estrabón y Plutarco, la siguiente: Aristóteles lega su biblioteca a su discípulo Teofrasto. Éste a su vez a Neleo, quien la llevó a su patria -Skepsis de Ida, Asia Menor-, pero por temor a que se apoderasen de ella los enviados del rey de Pérgamo la ocultó en una gruta, donde quedó hasta el año 100 a.C. Fue adquirida por un coleccionista Apelicón de Teos. Éste la trasladó a Atenas, donde se apoderó de ella Sila, en el año 86, llevándola a Roma como botín de guerra. Su hijo Fausto la vendió en el año 55 para pagar las deudas de su padre. El gramático griego Tiranión, de Amisos, se encargó de restaurar los manuscritos y realizó una primera copia parcial. Y luego una segunda en donde aparece ya Andrónico de Rodas -décimo escolarca del Liceo- ordenando la obra por materias en la siguiente forma:

Ta Biblia ta Lógica                      Los libros de la Lógica
Ta Biblia ta Ética                        Los libros de la Ética
Ta Biblia ta Física                               Los libros de la Física
Ta Biblia ta Política                     Los libros de la Política
Ta Biblia ta Retórica kay Poética   Los libros de la Retórica y La
Poética

Los expertos en filosofía griega saben  que la clasificación de los textos está mal elaborada, ya que en Grecia es lo mismo hablar de ética y política que de lógica, retórica y poética. Lo más importante de todo esto, es que en la clasificación que realizó Andrónico al señalar la “Lógica” de Aristóteles, el autor jamás empleó esta palabra el término de mayor semejanza,   cuando se realiza la lectura del Organon (que es traducido por instrumento), es una palabra conocida por todos y al mismo tiempo difamada, el “Logos”.

Aristóteles nunca tuvo una prueba de paternidad, ni existe la posibilidad de eso ahora, pero sí se puede afirmar que nunca creó la palabra, aunque gran parte de lo que se trata en la Lógica, fue descrito por Aristóteles. En su obra el ‘Organon’ trató las categorías, la proposición, los primeros analíticos, segundos analíticos, tópica, refutaciones sofísticas y los primeros conocimientos de lo que se conocería como la supuesta “lógica”, formal o aristotélica.

Aristóteles desarrolla en los Analíticos el silogismo, (teoría de la deducción), encuentra las estructuras generales del pensamiento deductivo, la prueba y el conocimiento (episteme), los axiomas, las definiciones y la hipótesis.[12]
FORMAS CATEGÓRICAS
Muchas de las lógicas de Aristóteles fueron concebidas con cierto tipo de proposiciones que pueden ser analizadas así:
1.- Usando un cuantificador ("cada", "alguno" o el universal "no")
2.- Un sujeto
3.- Una unión
4.- Quizás una negación
5.- Un predicado.
Proposiciones analizables, que más tarde recibieron el simple nombre de proposiciones las que se asignaron las siguientes formas:
Afirmativo universal: todo es uno.
Negativo universal: todo no es uno o equivalente a no es.
Afirmativo particular: algo es un.
Negativo particular: algo no es un.
Afirmativo indefinido: es un.
Negativo indefinido: no es un.
Afirmativo singular: x es un (donde x se refiere a un algo individual)
Negativo singular: x es un (donde x se refiere a un algo individual)
En el libro De Interpretaciones, Aristóteles explicó la forma en la cual las proposiciones negativas y afirmativas con el mismo sujeto y predicado pueden ser opuestas una a la otra. Él observaba que cuando dos proposiciones son relacionadas como A y E, ellas no pueden ser verdaderas al mismo tiempo, pero sí pueden ser falsas. A estos pares Aristóteles los llamo contrarios[13].
En el libro Organon, Aristóteles no formuló nada acerca de las relaciones lógicas entre alguna proposición cualquiera, independiente de las proposiciones internas analizadas dentro de la categoría de cualquier otra forma.
Euclides estudio en Atenas y fundó una escuela de matemáticas en Alejandría; este gran matemático alejandrino publicó numerosas obras entre las que destacan los célebres ''Elementos'', sin duda el texto matemático más conocido a lo largo de la historia. Los ''Elementos'' están divididos en trece libros y constituyen una recopilación de gran parte de las matemáticas conocidas en tiempos de Euclides; es importante señalar el empleo de este autor del método deductivo, el cual parte de principios (definiciones, axiomas y postulados) y teoremas, que se demuestran a partir de estos mismos. La geometría euclidiana fue importante no sólo en la matemática, sino en todo el desarrollo de la lógica y el procedimiento de la prueba deductiva. La naturaleza parte de principios geométricos que en su texto ''Elementos'' reciben el nombre de postulados; tres de ellos nos demuestran la existencia y unidad de la recta determinada por dos puntos; el cuarto, la existencia de una circunferencia de centro y radio dados; y el quinto da condiciones que aseguran que dos rectas se cortan en un punto. A través de la historia se ha mantenido la sospecha de que el quinto postulado era demostrable a partir de los anteriores; se intentó a lo largo de la historia demostrar este postulado sin éxito lo cual condujo en el siglo XIX, a la construcción de geometrías no euclidianas, de las que se deduce la imposibilidad de demostrar el quinto postulado.

La Edad Media y la Lógica

Las traducciones de Boecio[14] acerca de los libros Categorías y De Interpretaciones escritos por Aristóteles, tuvieron más influencia que las de Victorino, por lo que es una de las figuras más importantes de la lógica medieval. Además Boecio escribió comentarios y otros trabajos lógicos que fueron de tremenda importancia en la Edad Media latina. Hasta el siglo XII sus escritos y traducciones fueron el principal origen del conocimiento lógico europeo.

Lógica Árabe


El más importante trabajo lógico fue hecho en el mundo arábigo en el año 1300. El más original e importante de todos los lógicos árabes fue Avicena, quien produjo tratados independientes en lugar de basarse en los trabajos de Aristóteles.
El renacimiento en Europa de la lógica

El pensamiento lógico formal de Aristóteles, imperó durante la Edad Media, sobresaliendo en esa etapa filósofos como Abelardo (1079-1142) quien,  para poder enseñar sus propias doctrinas fundó la escuela de Melón, escuela que luego trasladó a Corbeil; después decide regresar a Paris para estudiar en Champeaux. Su teoría de los universales puede definirse así: el universal es un nombre, y el nombre de una voz significativa. La tarea a seguir sería aclarar el sentido de la significación y su relación con el significado; para ello se dedicó al análisis lógico de la predicación.

Alberto De Sajonia, discípulo de Abelardo, con quien perfeccionó la silogística. Siguiendo a Juan Buridan y a Nicolás de Oresme desarrolló la Teoría del ímpetu, y en particular la llamada teoría de los pesos, lo cual condujo a la investigación del problema de la gravedad; se ocupó también de investigar la relación entre espacio y recorrido, tiempo y velocidad, estableciendo que esta última es proporcional al espacio recorrido. Fue uno de los que más contribuyeron a los nuevos elementos de la lógica escolástica, discutiendo con detalle los términos sincategoremáticos, la teoría de las suposiciones y la teoría de las consecuencias; gracias a él se desarrolló un metalenguaje, con la formalización del lenguaje proposicional, el estudio de las funciones semánticas y sintácticas de los signos.

Sólo durante los siglos XVI y XVII, algunos matemáticos propusieron la necesidad de crear un lenguaje universal.

Las Matemáticas y la Ciencia 
René Descartes[15] nació en Francia en 1596 y falleció en Suecia en el año de 1650. Formó parte de una familia noble en la Turena, su condición física fue enfermiza. Cursó estudios normales de lógica, ética, metafísica, historia, ciencias y literatura. Luego se dedicó a trabajar independientemente en el álgebra y la geometría, convirtiéndose en sus materias favoritas debido a la certidumbre de sus pruebas. Prosiguió sus estudios en la Universidad de Poitiers, donde cursó las materias de Derecho. En cuanto recibió su diploma, abandonó del todo el estudio de las letras y resolvió no aspirar ya a ninguna otra ciencia que no fuera el conocimiento de sí mismo o de los grandes libros del mundo. Siguiendo este propósito, fue a París para divertirse con los juegos de azar. Pronto se cansó de ellos y se retrajo al mundo de la erudición. Pasó los dos años siguientes en la soledad, estudiando matemáticas. A la edad de veintidós años se ofreció como voluntario en el ejército del príncipe Mauricio de Nassau. Lo inquietaron los métodos de los geómetras griegos para llegar a sus ingeniosas pruebas sin un sistema fundamental de ataque y se propuso corregirlos mediante el manejo de líneas y figuras tridimensionales en una gráfica. Dibujaba la gráfica marcando unidades en una línea horizontal (eje x) y una línea vertical (eje y); así, cualquier punto de la gráfica podía describirse con dos números. El primer número representaba una distancia en el eje x y el otro número representaba una distancia en el eje y. Aunque conservaba las reglas de la geometría euclidiana, combinaba el álgebra y la geometría, consideradas entonces como independientes, para formar una nueva disciplina matemática llamada geometría analítica.

En 1629 decidió irse a vivir a Holanda, allí estudió otras cosas aparte de filosofía y matemáticas, comprendiendo la óptica, la física, la química, la anatomía y la medicina. En 1634 aún no publicaba nada, pero seguía dedicado a incorporar todos sus conocimientos, desde la astronomía hasta la anatomía humana, en un impresionante tratado titulado El mundo. Todo París esperaba con gran curiosidad la obra maestra de Descartes, pero este se enteró de que la Inquisición condenó a Galileo por atreverse a defender la teoría copernicana que aseguraba que el Sol era el centro del Universo. El 8 de Junio de 1637 Descartes dio al mundo su geometría analítica como un apéndice modesto de su obra maestra Discurso del método. El punto de partida es la duda universal, que consiste en prescindir de cualquier conocimiento previo que no queda confirmado por la evidencia con que ha de manifestarse el espíritu. Descartes dudó de toda enseñanza recibida, de todo conocimiento adquirido, del testimonio de los sentidos e incluso de las verdades de orden racional. Llegado a este punto, halla una verdad de la que no puede dudar: la evidencia interior que se manifiesta en su propio sujeto (pienso, luego existo). Como científico, se debe a Descartes, entre otros aportes de considerable interés, la creación de la geometría analítica. Este desarrollo es importante para la ciencia porque hace a la geometría cuantitativa y permite el uso de métodos algebraicos. La geometría debe ser cuantitativa para ser usada en la ciencia e ingeniería, y los métodos algebraicos permiten el desarrollo más rápido que los métodos sistemáticos (más rigurosos) requeridos por el enfoque axiomático de la geometría clásica. [16]

La Lógica Transcendental es el nombre dado por Kant a la parte fundamental de su filosofía crítica. Kant comenzó asumiendo que todo nuestro conocimiento es sensible o intelectual, es interno en la mente; no tenemos ningún conocimiento inmediato del mundo externo. Asumió que el material de todo nuestro conocimiento puede ser nada, pero los pulsos sucesivos de la sensación sin la unidad de la clase pueden ser el principio de éste. Si estas sensaciones puramente subjetivas experimentan tal transmutación dentro de nosotros, deben estar en virtud de un elemento a priori, un mecanismo interno que proporciona ciertas 'formas’, las cuales percibimos, pensamos y razonamos. En el Trascendental estético,  trabajo en el cual trata la opinión sensible se esfuerza para demostrar que el espacio y el tiempo son las 'formas de nuestra facultad sensible’, mientras que los pulsos de la sensación constituyen esta materia. En la Lógica de Trascendental, Kant se ocupa de las 'formas del intelecto’ (Trascendental analítico), y de razonamiento (dialéctica de Trascendental), les dio el nombre de categorías, un término empleado en un sentido muy diverso al aplicado por Aristóteles[17] y sus seguidores. Son las líneas regulares impuestas por el intelecto, en donde las sensaciones colocan las unidades, órdenes, secuencias, las identidades.

A Isacc Newton (1642-1727) se debe el descubrimiento de la gravitación universal, el desarrollo del cálculo infinitesimal e importantes descubrimientos sobre óptica, así como las leyes que rigen la mecánica clásica.

Barón Gottfried Wilhelm Von Leibniz,[18] nació en Lepzing, Saxony (Alemania) en 1646; falleció en Hannover en 1716. Aprendió por su propia cuenta latín y algo de griego a la edad de 12 años, para así poder leer los libros de su padre (profesor de filosofía moral). Desde el año 1661 hasta 1666 estudió leyes en la Universidad de Leipzig. En 1666 le fue rechazado el ingreso para continuar con un curso de doctorado, y fue a la Universidad de Altdorf, recibiendo su doctorado en leyes en el año 1667. Continuó su carrera de leyes trabajando en la corte de Mainz llegado el año  1672. Vivió en París hasta 1676, donde continuó practicando leyes. Sin embargo en París estudió matemáticas y física. Fue durante este periodo que las características fundamentales del cálculo fueron desarrolladas.

Fue un verdadero precursor de la Lógica matemática. Su método es concebido como una ciencia general, vasta, rigurosa, sobre la construcción de la realidad. Hallar esa ciencia de tipo matemático, presupone que toda afirmación verdadera se reduce, como en matemáticas, a la identidad de los términos, sujeto y predicado. En el racionalismo para que una proposición sea verdadera debe ser analítica, es decir, la verdad del predicado se descubre por el sólo análisis del sujeto, como sucede, por ejemplo, en la proposición el todo es mayor que una de sus partes. Las proposiciones que no cumplan este requisito son falsas.
                                                                               
Leibniz, planteó muchos conceptos de la Lógica Simbólica que en aquel entonces no tuvieron mayor influencia, pues quedaron inéditos hasta el siglo pasado. Leibniz concibe la creación de un lenguaje artificial desprovisto de toda ambigüedad, y la de una manipulación ordenada de símbolos,[19] al emplearse el lenguaje simbólico se podrá evitar errores en el pensamiento, por esto se afirma que es el fundador de la Lógica Simbólica.[20]


Matemáticas y su Formalización

El matemático George Boole nació en Inglaterra en 1815;fallecido en Irlanda en 1864. No estudió para un grado académico, fue autodidacta, a la edad de 16 años fue un profesor auxiliar de colegio. Mantuvo su interés en los idiomas y en las matemáticas. Boole no pudo estudiar en Cambridge, debido a la necesidad de sostener a sus padres, pero estudió álgebra por su cuenta. No obstante, desarrolló una aplicación de métodos algebraicos para la solución de ecuaciones diferenciales que fue publicada en el "Transaction of the Royal Society" y por este trabajo recibió la medalla de la Real Sociedad. Su trabajo matemático fue el comienzo que le trajo fama. Posteriormente Boole fue nominado para una cátedra matemática en el Queens College, Cork, en 1849. Enseñó allí por el resto de su vida, ganando una buena reputación como prominente y dedicado profesor. En 1854 publicó una investigación de las leyes del pensamiento sobre las cuales se basan las teorías matemáticas de Lógica y Probabilidad. Boole aproximó la Lógica en una nueva dirección reduciéndola a un álgebra simple, incorporando Lógica en las matemáticas. Agudizó la analogía entre los símbolos algebraicos y aquellos que representan formas Lógicas. Publicó alrededor de 50 escritos y fue uno de los primeros en investigar las propiedades básicas de los números, tales como la propiedad distributiva que fundamentó los temas del álgebra. El álgebra booleana tiene una amplia aplicación en el switch telefónico y en el diseño de computadores modernos. El trabajo de Boole ha llegado a ser como un paso fundamental en la revolución de los computadores hoy en día.

Publicó en su libro “Análisis Matemático de la Lógica”, sus reflexiones acerca de la utilización metódica del álgebra en la Lógica. El paralelismo entre las leyes del pensamiento (Lógica) con las operaciones matemáticas, el uso de los valores de la Lógica de los números “uno” y “cero”.

Boole descubre en el lenguaje lógico, la utilización de literales (x, y, z) que denotan conjunto de objetos (o clases) a las cuales se aplican la propiedad y signos operatorios (+, -, x), el símbolo de la igualdad (=), y los números 0 y 1.

David Hilbert (1862-1943) es autor de innumerables contribuciones a la matemática y a la Lógica matemática.  Entre ellas destaca su labor de fundamentación de la geometría euclidiana, especialmente mediante la prueba de la consistencia de los sistemas deductivos y de formalización de la aritmética. Su gran aportación a la Lógica es el de llevar a cabo todas las posibilidades de formalización, y los principales aportes están en el campo de la sintaxis. Publicó en 1899 su obra ''Fundamentos de Geometría'', en la que formuló sus principios de axiomatización. Los principios son simbólicos, sin recurrir a dibujos y representaciones gráficas, y es necesario prever la mayoría de las posibilidades con antelación.

Augustus De Morgan (1806-1871) Es muy famoso en lógica por las leyes que llevaran su nombre Morgan, y son base del desarrollo de las relaciones y la lógica matemática, parte de una idea del 'infinito continuo' la posibilidad de considerar conjuntos infinitos dados simultáneamente. Se considera el creador de la teoría de los números irracionales y de los conjuntos.

Otros matemáticos como Ernest Schröder (1841-1902) continuaron los trabajos de BOOLE, al igual que Gottlieb Frege[21] (1848-1925) quien estableció las bases de la lógica cuantificacional, enriqueciéndose más la lógica simbólica con las aportaciones de Georg Cantor[22] con la teoría de los conjuntos y de John Venn (1884-1923) quien empleó el uso de diagramas de su autoría para el entendimiento gráfico de los mismos.

Giuseppee Peano (1858-1932) su enunciación de los principios acerca de lógica matemática y su aplicación práctica quedaron contenidos en su obra ''Formulaire de mathematiques''. Los axiomas de Peano permiten definir el conjunto de los números naturales.
Charles Sander Peirce (1839-1914) consideró la filosofía como una ciencia análoga a las demás ciencias, describió el álgebra lineal y es la primera figura norteamericana en la lógica. La ciencia normativa se subdivide en estética, ética y lógica; en éste último campo combatió el psicologismo, así como las injerencias que combaten su formalismo, se puede considerar como uno de los fundadores de la lógica de las relaciones; realizó una exploración de propiedades formales y abstractas de su relación lógica distintiva.
El alemán Gerhard Gentzen (1909-1945) es muy conocido por la lógica de predicados; mediante un sistema de inferencias llamadas “reglas de Gentzen”, ha remplazado muchos de los métodos de deducción; es muy famosa su prueba de la consistencia de la aritmética mediante un proceso de inducción transinfinita.

Bertrand Russell (1872-1970) trabajó al lado de Whitehead (1910-1913) con quien publicó ''Principia Mathematica'' en la fundamentación de la lógica matemática; es creador de la logística. Lo más importante de su trabajo son los aportes a la lógica. Afirmó que quien quería iniciarse en la lógica debía comenzar por no estudiar la lógica de Aristóteles. Gracias a su trabajo, Cantor descubrió en la teoría de conjuntos y muchas paradojas  la teoría de los tipos; para luego explicar la teoría del lenguaje, para poder  eliminar las paradojas semánticas.

Kurt Gödel (1906-1978). Entre sus contribuciones tenemos su Teorema de ‘incompletitud’ semántica, con la prueba de que en la teoría numérica elemental se  destaca la elaboración de la demostración de consistencia de la hipótesis cantoriana del continuo; en su texto ''Sobre las proposiciones indecidibles de los sistemas de matemática formal'' concluye que es imposible construir un sistema de cálculo lógico suficientemente rico en el que todos sus teoremas y enunciados sean decidibles dentro del sistema; gracias a esto se demostró definitivamente que era imposible llevar a cabo el programa de la axiomatización.

Esta lógica simbólica logra enriquecerse, aún más, con las aportaciones matemáticas de John Von Newmann  (1903-1957), creador de la Teoría de los Juegos, cuya mayor influencia la encontramos en la materia económica; participó en el Proyecto Manhattan, en la creación de la primera bomba atómica, además de ser científico asesor del Consejo de Seguridad de los Estados Unidos; en álgebra existe el “algebra de Von Newmann”, sus lenguajes artificiales dieron origen a la informática. Sin olvidar desde luego la teoría del punto de equilibrio de John N. Nash, (1928) quien gano el Premió Nobel en 1994 por su famosa tesina sobre la “teoría del equilibrio”. Cuando alcanzó los 29 años se le diagnostico esquizofrenia paranoica lo que generó una marginación del trabajo científico durante casi veinte años. Luego, mediante el empleo de las tablas de verdad logra su aplicación a las negociaciones económicas contractuales, hasta problemas hipotéticos en el Derecho.

La Era Digital

Esta revolución se inició con la invención de la computadora digital y el acceso universal a redes de alta velocidad. Alan  Turing (1912-1954) desarrolló un sistema de computabilidad que ha sido empleado como patrón para las operaciones de los computadores digitales o de estado discreto, antes de que cualquier computadora fuera inventada. Weiner funda la ciencia de la cibernética. En la escuela moderna de la computación están presentes lógicos que han permitido avances importantes: Hoare presenta un sistema axiomático de los sistemas de programación, y Dijkstra, un sistema de verificación y deducción de programas a partir de especificaciones.

Norbert Weiner (1894-1964), el científico norteamericano que en 1947 publica su libro más famoso: ''Cibernética, o control y comunicación en el animal y la máquina''; en donde se utiliza por primera vez la palabra Cibernética. Existen muchas definiciones de Cibernética (del griego kybernetes, piloto), Norbert Weiner dio vida a la palabra mediante una definición muy simple: ''Ciencia que estudia la traducción de los procesos biológicos a procesos de máquina''. En el inicio, la Cibernética estaba muy ligada a ciencias como neurología, biología, robótica e inteligencia artificial.

Alfred Tarski (1902-1983) en matemáticas se le debe la teoría numérica, estudio la axiomatización de los sistemas formales, realizó importantes estudios de álgebra en general, teoría de mediciones, lógica matemática, teoría de conjuntos, y metamatemáticas.


[1] Tomado de GÓMEZ PÉREZ, Marco Antonio. Pitágoras, México, Gran Larousse Ilustrado, 2002.
[2] MARÍAS, Julián. Historia de la Filosofía, Madrid, Alianza Editorial, 1998. p. 17.
[3] GARCÍA MORENTE, Manuel. Lecciones Preliminares de Filosofía. Editorial Época. México 2000. p. 62
[4] MONDOLFO Rodolfo Op. Cit. p. 95
[5] Tema tratado en el Capítulo de la Lógica.
[6] FERRATER MORA, José, Diccionario de Filosofía, Barcelona, Ariel  2002, p. 2705.

[7] La más famosa de ellas es Aquiles y la tortuga dondeEl guerrero Aquiles el de los pies veloces decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él.”

 ¿Pero por más que Aquiles corra jamás alcanzara a la tortuga?
[8] FERRATER MORA José, Op. Cit. p. 3840.
[9] ARISTÓTELES, Física, VI, 9
[10].VIREUX – REYMOND. La Lógica Formal, Buenos Aires Argentina Librería El Ateneo, 1976, p. 41.
[11]Tomado de Historia del Pensamiento, Filosofía Antigua, Barcelona, Editorial Sarpe 1988, p. 169.
[12] LARROYO, Francisco. Filosofía de las Matemáticas. Historia, Sistemática, Protocolos, México, Editorial Porrúa, 1976. p. 31
[13] Esto se explicara con mayor claridad en el capítulo de relaciones interproposicionales.
[14] Nació en Roma, fue cónsul de Roma, y estuvo al servicio de Teodorico hasta que fue acusado de traición y prácticas mágicas. Fue encerrado en Pavía y ejecutado. Tiene varias obras Lógicas como: Interpretatio Posteriorum Aristotelis,  In Librum Aristóteles de Interpretatione.
[15] http://www.mat.usach.cl/histmat/html/eule.html
[16] LARROYO, Francisco. Óp. Cit. p. 78.
[17] Ver capítulo Breve historia de la lógica.
[18] http://www.mat.usach.cl/histmat/html/eule.html
[19] PIAGET, Jean. JEAN-BLAISE GRIZE-LEO APOSTEL y varios. Tratado de Lógica y Conocimiento Científico, Lógica, Vol. II, Buenos Aires, Editorial Paidós, ,1979. p.16.
[20] DIRK JAN STRUIK, Historia Concisa de las matemáticas, México,  Instituto Politécnico Nacional, 1994. p. 158.
[21] Junto con Boole y Peano, el matemático y lógico Friedrich G. Frege (1848-1925) inició la corriente de pensamiento que, partiendo del análisis de los fundamentos de la matemática, llevó a cabo la más profunda renovación y desarrollo de la lógica clásica. Fue el primero en introducir los cuantificadores u operadores y en elaborar una teoría de la cuantificación.

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