LÓGICA CUANTIFICACIONAL

La lógica formal, al nivel de la lógica de enunciados, sólo puede analizar formalmente aquellos razonamientos en cuya validez no desempeña ningún papel la estructura interna de las proposiciones que la componen.

Ejemplo

        Aristófanes es un comediante griego. 

En la lógica proposicional podemos simbolizar con la letra P, pero cuando entramos a observar su composición, no podemos simbolizar con estas letras sentenciales, sino que tenemos que averiguar cuáles son los elementos que la componen y emplear cada uno de ellos con diferentes símbolos; estos son el argumento, sujeto, (S); y el predicado (verbo) (P); en nuestro ejemplo es sujeto Aristófanes, y el predicado un comediante griego

Hay razonamientos formalmente válidos que no lo son simplemente en virtud de las conexiones externas entre los enunciados. Es decir, su forma no puede exhibirse tan solo mediante letras y conectivos, sino que es preciso penetrar en la estructura interna del enunciado para buscar la validez de la inferencia en cuestión.

Ejemplo:

P: ninguna planta puede caminar.

Q: Fernando puede caminar.

Luego,
R: Fernando no es una planta.

La lógica proposicional no puede explicar porqué R se deduce de P y de Q.

Se trata entonces de construir a partir del cálculo proposicional nuevos elementos de análisis para poder tener un más poderoso instrumento de deducción.

Dada una proposición, la lógica cuantificacional distingue en esta a los individuos y a sus propiedades.

Ejemplo:

Pantagruel come mucho

En la proposición anterior el individuo es: “Pantagruel”, este es un sujeto gramatical. La propiedad atribuida a este individuo es: “come mucho”,  esto coincide con el predicado gramatical.

Este tipo de proposiciones en donde se atribuye una propiedad a un individuo determinado son las llamadas proposiciones simples. Los nombres propios hacen referencia a cualquier tipo de individuos determinados: personas, cosas, animales, etc. y se simbolizarán con letras minúsculas x, y, z… empleando la primera letra de la palabra principal del sujeto, se llamarán constantes individuales o términos. Se llamará predicado a la palabra o frase que hace referencia al sujeto o término, y se simbolizará con letras mayúsculas: F, G, H…

empleando la primera letra de la palabra principal del predicado.

Si en el ejemplo anterior se simboliza a:

Pantagruel, por la letra p.

Come mucho, por la letra C.

Cp

Las proposiciones simples pueden combinarse mediante conectivos lógicos para formar proposiciones compuestas tales como:

“Carlos para de jugar y Camila sabe lo bello que es vivir"

Que se puede simbolizar así:

Jc ^ Bm

FUNCIONES PROPOSICIONALES

Considérense las siguientes proposiciones:

Fernando es abogado.

Jesús es abogado.

Estas proposiciones tienen algo en común, y es la propiedad de “ser abogado”. Esto puede formularse recurriendo a la expresión “x es médico” en donde x es una variable individual, la cual indica que el sujeto o término que tiene la propiedad de ser abogado es indeterminada. La expresión “x es abogado” no puede considerarse como una proposición puesto que no es en cuanto tal ni verdadera ni falsa. Aquí x es una variable que toma valores dentro de un conjunto, llamado conjunto de referencia. Expresiones de esta forma, dadas en términos de una o varias variables, reciben el nombre de funciones proposicionales.

Cuando en una función proposicional se sustituyen las variables por constantes individuales o términos específicos, se convierte en proposición. Comúnmente se usarán las letras x, y, z, w para denotar las variables. La funciones proposicionales pueden negarse y también combinarse con otras funciones proposicionales o proposiciones simples por medio de los conectivos.

Ejemplo:

“x es un juez y z es un número juez”. Se puede simbolizar como:

Q_x ^  I_z.

Si en una forma compuesta hay por lo menos una función proposicional como componente, entonces toda la forma compuesta es una función proposicional.

Ejemplo:

C_a v ₍A_b →  P_x)

es una función proposicional puesto que P_x lo es.

Cuantificadores

Las expresiones:

Todo perito es experto.

Algunos cantantes son buenos.

Pueden traducirse respectivamente como:

Para todo x, si x es perito entonces x es experto.

Existe un x, tal que x es cantante y x es bueno.

Otros giros utilizados para la expresión “para todo x”, son:

Todo x

Cualquiera x

Cada x

Que se simbolizan por “∀x” y se llama cuantificador universal.

Otros giros utilizados para la expresión "Existe un x" son:

Hay x

Existe x, tal que

Algún x

Algunos x

Que se simbolizan por “∃x” y se llama cuantificador existencial.

Existen tres formas de convertir una función proposicional Fx en una proposición a saber:

* Haciendo la sustitución de las variables por un término específico.

* Anteponiendo la expresión "para todo x" o cuantificador universal. 

* Anteponiendo la expresión "existe al menos un x" o cuantificador existencial.

El enunciado "existe al menos un x tal que Fx" se representa como:

($x)(Fx)

El enunciado "para todo x, Fx" se representa como:

(∀x) (Fx)

Al anteponer a la función proposicional Fx un cuantificador, se dice que la variable x ha pasado a ser una variable ligada.

Una proposición de la forma (∀x) (Fx) es verdadera cuando todas las sustituciones de la variable x por términos específicos del conjunto de referencia convierten a Fx en enunciado verdadero.

Un enunciado de la forma (∃x) (Fx) es verdadero cuando al menos un caso de sustitución de la variable x por un término específico del conjunto de referencia, convierte a Fx en un enunciado verdadero.
Las proposiciones universales pueden aparecer negadas, como en el enunciado: No todos son litigantes.  En este caso la simbolización será ~(∀x) (Cx) donde Cx es la función proposicional “x es litigante” que toma valores dentro del conjunto de referencia formado por los hombres.

Las palabras “ningún”, “ninguno”, “nada”, “nadie” corresponden también a enunciados universales con negaciones, pero de una manera distinta a las proposiciones anteriores. La proposición “ninguno es empleado publico” no equivale a la proposición “no todos son litigantes” sino a la expresión "para todo x, x no es católico" que se simboliza (∀x) (~ M x).

Las proposiciones anteriores pueden estar negadas, como por ejemplo “no es cierto que los muertos tienen sed” la cual se simboliza como ~(∃x)(Fx) donde Mx simboliza la expresión “x es un poeta”. Análogamente a lo que ocurre con los cuantificadores universales, las proposiciones existenciales puede tener negaciones internas como “algo no es único” la cual se simboliza como (∃x) (~ Tx) donde Tx simboliza la expresión “x es único”.