LÓGICA PROPOSICIONAL
Se llama así porque utiliza signos que pueden ser reemplazados por cualquier proposición, y que por ello se denominan "variables proposicionales".
La lógica estudia las estructuras formales de la inferencia (razonamiento). La lógica analiza su estructura y señala en qué condiciones es válido el razonamiento. La lógica proposicional estudia la estructura formal de la inferencia, tomando las proposiciones (o los enunciados). La lógica trata de enunciar: un enunciado es la proposición en la que se puede decir qué es verdadero y que es falso, nos informa sobre la realidad. En una proposición distinguimos unos cuatro tipos de oraciones:
1.- Descriptivas. Ejemplo "Los hombres mueren".
2.- Imperativas. Ejemplo "¡Muere!".
3.- Interrogativas. Ejemplo "¿Ha muerto?".
4.- Exclamativas. Ejemplo "¡Ojalá muera!".
Estas oraciones simplemente terminan siendo formas de expresiones sin más ni menos, pero en lógica éstas por sí solas no tienen mayor relevancia.
Ejemplos:
"¡No hables!" No es enunciado.
"¿Quién anda ahí?" No es enunciado.
"El presidente de los Estados Unidos es marciano" Sí es enunciado.
Clases de enunciados.
- Atómicos: Constan de una sola proposición, no se puede descomponerlas más.
Ejemplo:
“voy a dibujar a cien años luz la mueca que pintas cuando llego”
Se simboliza por letras mayúsculas a partir de la P como son la P, Q, R, S, T, etc. (y si es necesario P1, Q1, R1,… R2, Q2, etc.).
Los objetos elementales de la lógica proposicional son las frases atómicas, que se pueden definir como proposiciones simples dotadas de un significado completo; se habla así, de "frases bien formadas", para diferenciarlas de aquellas que carecen de sentido, no obstante su correcta estructura gramatical, por ejemplo, el enunciado famoso de Carnap: "el cinco por ciento de los números primos, que tienen por padre el concepto de temperatura y por madre el número cinco, mueren en un período de tres años, cinco kilogramos y siete centímetros después de su nacimiento, o bien de fiebre tifoidea o bien de la raíz cuadrada de una constitución democrática".[1]
- Molecular: es compuesta por dos o más proposiciones, constan de varios enunciados atómicos, se pueden descomponer, (además de ciertas expresiones como “y”, “o”, entre otras)
Ejemplo: “Empaco un par de camisas y un sombrero”.
Por una parte tenemos
“Empaco un par de camisas”
“Empaco un sombrero”
- Conectores: También son denominado como funtor, juntor estos son términos que conectan los enunciados atómicos, formando así los enunciados moleculares. Podemos distinguir los siguientes conectores:
No, y, o, si,… entonces, si y sólo si.
A = ¥ B = § C = ¤
Supongamos que en una sociedad determinada, los signos tipo A representan hombres y los tipo B representan mujeres, y el signo tipo C representa la relación "contraer matrimonio con". Entonces, de acuerdo con esto:
¥ ¤ §
De lo anterior entendemos que el hombre representado por ¥ está casado con la mujer representada por §.
Lo que se ha hecho, entonces, es formalizar las relaciones matrimoniales en una determinada sociedad; o sea, que se ha pasado de un simple cálculo a un lenguaje formalizado.
La lógica se entiende como un conjunto de cálculos a los cuales se les da una interpretación en el campo de investigación, lo cual constituye el objeto de la lógica (el razonamiento deductivo).
Se puede decir que la lógica es la ciencia de los principios de inferencia o razonamientos formalmente válidos. Lo específico de un razonamiento o inferencia consiste en derivar una conclusión a partir de unas premisas siguiendo una regla de inferencia dada, llamada modus ponens[2]. De esta conclusión se dice que es formalmente válida, es decir, que si sus premisas son verdaderas entonces la conclusión también es verdadera. La lógica se ocupa de la validez de los razonamientos y no de la verdad o falsedad de los enunciados que la componen.
En todo razonamiento, es posible diferenciar la forma del contenido. Así, por ejemplo:
Si llueve, entonces no iré a cine.
Si pago los recibos, entonces no tendré problemas.
Son dos enunciados de contenidos diferentes. Su forma, sin embargo, es la misma. Su estructura se representa así:
Si......, entonces.....
Se puede llenar el espacio vacío con letras mayúsculas, que representarán el contenido de los enunciados quedando la expresión así:
Si P entonces Q
A la lógica le interesa únicamente la forma de los razonamientos. A esto se le denomina lógica formal o ciencia de las formas o esquemas válidos de razonamientos. La lógica ha de hacerse con un lenguaje en el cual la forma aparezca aislada, y en el que la estructura del razonamiento se muestre sola.
Cálculo Proposicional
De las estructuras formales o sintácticas del lenguaje, solo se estudian las formas o estructuras argumentativas. Russell definió la lógica como "la ciencia de los sistemas deductivos". Otros la definen como la "ciencia de los principios de la validez formal de la inferencia", en que inferencia es lo mismo que razonamiento o argumentación. Esta definición nos da a entender que la lógica sólo está interesada por la validez formal de la inferencia, no por la interpretación semántica. Si en los ejemplos anteriores se interpreta, además de la estructura sintáctica que esconde el "filósofo has de morir" se entiende por ejemplo "humano, has de acertar las quinielas". Ocurre que sobre una estructura de forma válida puede hacerse una interpretación semántica falsa. La lógica se ocupa, entonces, de la validez formal, no de la verdad o falsedad.
Una complicada argumentación en la que uno termina por perderse, se convierte en un sencillo cálculo. Leibniz fue el que inició la lógica matemática, en donde habló de cálculo para referirse a las argumentaciones.
La oración se puede definir como: un conjunto de palabras con sentido completo; cuando hablamos de cálculo proposicional, la parte primordial de este, que es la proposición, es definida como un conjunto de palabras con sentido completo y calificable de verdaderas o falsas.
El cálculo proposicional forma parte del estudio de la lógica simbólica, esta tiene por estudio el cálculo de la inferencia, para demostrar la validez de un argumento, a través de una serie de reglas.
Un cálculo se compone de lo siguiente:
Un conjunto de elementos primitivos o símbolos elementales, los cuales constituyen los objetos del sistema.
Un conjunto de reglas de formación que establecen cuáles son las combinaciones u ordenamientos de símbolos elementales que están bien formados. Tales ordenamientos son llamados términos y fórmulas.
Un conjunto de reglas de transformación. Aplicándolas, se puede transformar una combinación bien construida de símbolos en otra combinación igualmente bien construida.
Un cálculo es una construcción autónoma, ya que no hace referencia a nada que sea ajeno a él. Por tanto, no es un lenguaje en la medida en que no es medio de comunicación, sino un puro armazón sintáctico. Sus elementos carecen de significado. Se puede, sin embargo, transformar un cálculo en un lenguaje que interprete sus símbolos, dando a los mismos un significado.
La lógica matemática es la disciplina que trata de formas de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica da reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.
Simbolización de proposiciones: Cada proposición tiene una forma lógica a la cual se le da un nombre. Se distinguen dos tipos de proposiciones: simples y compuestas. Una proposición se denomina simple o atómica cuando en ella no interviene ninguna conectiva lógica o término de enlace (y, o, no, si...entonces..., si y sólo si). Si se juntan una o varias proposiciones simples con un término de enlace, se forma una proposición compuesta o molecular.
Los términos de enlace, "y", "o", "si... entonces...", "si y sólo si"; se usan para ligar dos proposiciones; en cambio el término de enlace "no" se agrega a una sola proposición.
Ejemplo:
Hoy es viernes
Hay clase de laboral
Ambas proposiciones son simples. Con estas proposiciones se pueden construir proposiciones compuestas tales como:
Hoy es viernes y hay clase de laboral.
Hoy es viernes o hay clase de laboral.
Si hoy es viernes entonces hay clase de laboral.
Hoy no es viernes.
La forma de las proposiciones compuestas depende del término de enlace utilizado, y no del contenido de la proposición o proposiciones simples. Es decir, si en una proposición compuesta se sustituyen las proposiciones simples por otras proposiciones simples cualesquiera, la forma de la proposición compuesta se conserva.
Ejemplo:
Hoy es viernes y hay clase de laboral.
Y
Esta sería la forma de la proposición. En los cuadros pueden colocarse las proposiciones dadas u otras proposiciones. Para representar las proposiciones se utilizan letras latinas mayúsculas tales como P, Q, R, etc. Por ejemplo, sea:
P: Hoy es viernes.
Q: Hay clase de laboral.
Luego la proposición:
Hoy es viernes y hay clase de laboral.
Se simboliza así:
P y Q
En el lenguaje corriente se utiliza también la palabra "pero" o una "," en vez del término de enlace "y".
Ejemplo:
Fui a comer, pero no estudié.
Marcela está enferma, el martes iré a visitarla.
En el siguiente ejemplo se usa el término de enlace "o".
Es temprano o está muy oscuro.
Otro giro de "o" es:
O es temprano o está muy oscuro.
En este último caso las dos "o" son parte del mismo término de enlace y la forma de la proposición es:
O
Cuando se usa el término de enlace: si... entonces, se obtiene la siguiente forma:
Si,… entonces
Si R entonces S
Ejemplo:
Si me levanto temprano entonces madrugo.
En este ejemplo puede suprimirse la palabra “entonces” y reemplazarse por una “→” así:
Si madrugo, llego temprano.
Cuando se usa el término de enlace: “es incompatible” se obtiene la siguiente forma:
Es incompatible
P es incompatible con Q
Ejemplo:
No puede haber paz con injusticias
En este ejemplo puede suprimirse la palabra “no puede haber” y reemplazarse por un “/”
Cuando la palabra "no" se encuentra en el interior de una proposición simple, puede pasar inadvertida, pero se trata de una proposición compuesta.
Ejemplo:
El día no está caluroso
Puede presentarse como:
No ocurre que el día esté caluroso.
Y su forma es:
No
No P
También se usan símbolos para representar los términos de enlace, así:
Para la "y" se utiliza el símbolo ^.
Para la "o" se utiliza el símbolo v Para la "o...o" se utiliza el símbolo w.
Para el "no" se utiliza el símbolo ~.
Para el "si,…entonces…" se utiliza el símbolo →.
Para el "si y sólo si" se utiliza el símbolo ↔.
Para el “ni...ni” se utiliza el símbolo ↓.
Para el “es incompatible” se utiliza el símbolo /.
Conjunción: Cuando una proposición compuesta utiliza el término de enlace "y", es una conjunción. Esta es una parte invariable de la proposición que denota la relación que tienen dos proposiciones o entre miembros o vocablos de ellas, juntándolos o enlazándolos gramaticalmente.
Ejemplo
Hannah y Velvetina salen a la calle
Disyunción inclusiva: Si el enlace se hace mediante la conectiva "o" es una disyunción inclusiva. Cumple la función de separar dos realidades que están intrínsecamente referidas una a la otra.
Ejemplo
Camila sabe inglés o francés
Disyunción exclusiva: Cuando el enlace es mediante la conectiva “o...o” es una disyunción exclusiva, Donde necesariamente una de las dos opciones va a separar a la otra porque son datos contrarios.
Ejemplo
Fernando o habla de García Márquez o de Vargas Llosa
Negación: Si se usa el término “no” es una negación. Dada una proposición es posible negarla de varias formas por ejemplo la proposición atómica “El plomo es radioactivo” la podemos negar en la siguiente forma:
- No es el caso que el plomo sea radioactivo.
- No es cierto que el plomo es radioactivo.
- No ocurre que el plomo es radioactivo.
- El plomo no es radioactivo.
Condicional: Cuando la conectiva es “si...entonces...” es una proposición condicional, por que lleva internamente un requisito que se debe cumplir y si se cumple se da el segundo hecho
Ejemplo
Si Romeo habla, entonces Julieta se deleita
La primera parte que compone la proposición ‘Romeo habla’ es lo que se conoce con el nombre de antecedente, mientras que la segunda parte, ‘Julieta se deleita’ se conoce con el nombre de consecuente.
Bicondicional: Si se utiliza “si y sólo si” se tiene un bicondicional. Porque su contenido necesariamente será de cumplir con dos hechos al mismo tiempo.
Ejemplo
Arturo es padre de Carlos si y sólo si Carlos
es padre de Felipe
Para este caso esta proposición tiene el mismo sentido que
p → q ^ q → p
Binegación: Si empleamos “ni...ni” es una binegación. Pues contiene en esta clase de proposiciones dos negaciones.
Ejemplo
Miguel ni hace ni deja hacer
Incompatibilidad: Si empleamos la incompatibilidad recibe el nombre de anticonjuntor, en donde lo único que se quiere decir es que una misma persona no puede ser, a la vez, dos cosas;
Ejemplo
Es incompatible ser juez y abogado
Una persona no puede actuar a la vez como juez y como abogado, por tanto, de ser verdaderas las dos proposiciones atómicas, la molecular tendría el valor de F.
Las diversas escuelas de lógica han establecido variados símbolos para representar los valores y conectivas lógicas apuntadas, facilitando con ello la formalización del lenguaje; el siguiente cuadro describe como se emplean comúnmente por parte de diferentes autores los conectores lógicos y su simbología.
no | y | o | o…o | sie | sii | ni…ni | incomp |
– | ● | v | w | Þ | Û | ¯ | | |
~ | ^ | → | ↔ | / | |||
¬ | » | ||||||
É |
En las proposiciones que tienen más de un término de enlace es preciso indicar la manera de agruparse, pues distintas agrupaciones pueden tener distintos significados. En el lenguaje corriente, las agrupaciones se presentan de acuerdo con la colocación de ciertas palabras o mediante la puntuación. En lógica la agrupación se indica por medio de paréntesis.
Ejemplo:
O los estudiantes de primero presentaron el examen, o temieron a una mala calificación, se refugiaron en las excusas para disculparse para no asistir. Este texto se simboliza de la siguiente forma:
P: Los estudiantes de primero presentaron el examen.
Q: Los estudiantes de primero temieron a una mala calificación.
R: Los estudiantes de primero se refugiaron en las excusas para no asistir.
Q: Los estudiantes de primero temieron a una mala calificación.
R: Los estudiantes de primero se refugiaron en las excusas para no asistir.
La proposición compuesta es:
(P w Q) → R.
La cual tiene un sentido distinto de la proposición:
P w (Q → R).
Podemos omitir los paréntesis cuando no hay lugar a ambigüedades, y se adopta una convención con respecto a la dominancia relativa de los diversos conectivos. La convención es:
"↔" y "→" dominan a "^" y "v".
No hay comentarios:
Publicar un comentario