El cálculo proposicional como un sistema axiomático.
Signos primitivos.
Letras latinas minúsculas y mayúsculas.
Signos lógicos: "~" (negación), "v " (disyunción).
Signos de puntuación: "(",")" (paréntesis).
A través de los signos es posible afirmar que existen específicamente algunos que le dan sentido dentro de la simple teoría. Estas sucesiones podemos llamarlas términos y fórmulas, los términos nos permiten identificar con los objetos de la teoría, mientras que las fórmulas expresan relaciones que existen entre los objetos; está especificación entre los términos y las fórmulas, se realiza a través de las siguientes reglas:
Reglas formativas.
1.- Una letra es una proposición.
2.- Si R es una fórmula, entonces ~R también es una fórmula, la cual se denomina negación de R.
3.- Si P y Q son fórmulas, entonces P ^ Q es una fórmula la cual se denomina disyunción lógica de P y Q.
Nota: En las 2 y 3, las letras mayúsculas se usan para designar fórmulas; no corresponden a signos del lenguaje.
Signos Definidos. Una vez establecidas las reglas de formación de fórmulas se pueden introducir abreviaciones con el fin de simplificar la escritura. Estas abreviaciones son el objeto de las definiciones matemáticas.
Uso de paréntesis y corchetes
Para evitar ambigüedades empleamos los paréntesis y también nos ayudan a descubrir la forma como esta propuesto el enunciado. Las formas del enunciado se discriminan por la forma de sus conectivas que se encuentran fuera del paréntesis.
~ [(P → Q) ^ R] → ~ (P → R)
En lógica sólo podemos aceptar formas válidas de inferencia, la validez podemos comprobarlas por el empleo de las tablas de verdad sobre los enunciados.
Forma de leer las proposiciones
P ^Q P y Q
P v Q P o Q
P w Q o P o Q
P → Q si P entonces Q
P ↔ Q P si, y sólo si Q
P ¯ Q ni P ni Q
P / Q P es incompatible Q
~ P no P
Los valores de las proposiciones P, Q, R ..., pueden ser analizados mediante las llamadas "tablas de verdad", en las cuales los valores "falso" y "verdadero" aparecen representados con las literales "v" y "f". A continuación presentamos las tablas de verdad de las funciones lógicas de referencia.
Ejercicios
1. Cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones:
a. El dinero es caro
b. ¡Compre aceite gastrol!
c. Si diversifica sus inversiones sus riesgos se disminuyen
d. ¡El alto costo de la vida!
2. Sea P la proposición “la inflación perjudica a la gente de ingresos pecuniarios fijos”, Q la proposición “la inflación destruye el poder de la compra” y R la proposición “cuanto menor sea el nivel de gastos gubernamentales, menor será el peligro de inflación” Traduzca las proposiciones que representan:
a. P ^ Q
b. R ^ Q
c. (P v Q) → R
d. q → (P ^ R)
e. (P ^ Q) → (P ^R)
f. (P v Q) → (P → R)
TABLAS DE VERDAD
Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretación de los signos lógicos como: no, o, y, si…entonces, si y sólo si, incompatible respectivamente. Estas se forman para determinar mecánicamente la verdad o falsedad de cualquier forma sentencial (o de un enunciado) una vez conocidos los valores de verdad de las fórmulas componentes.
La interpretación corresponde al sentido que estas operaciones tienen dentro del razonamiento.
Puede establecerse una correspondencia entre los resultados de estas tablas y la deducción lógico matemática. En consecuencia, las tablas de verdad constituyen un método de decisión para chequear si una proposición es o no un teorema.
Para la construcción de la tabla se asignará el valor v a una proposición cierta o verdadera y f a una proposición falsa.
Si decimos que la proposición es una cadena de palabras con sentido completo y que puede ser calificable de verdadera o falsa la base de todas las proposiciones será 2; pues este número representa la verdad o la falsedad y n representa el número de proposiciones en cada oración.
2n, es decir si tenemos una sola proposición como P será su representación
2n = 2¹ = 2 es decir tendremos dos valores, la mitad de ellos serán verdaderos y la mitad de ellos serán falsos representados así:
P
V
F
2n = 2² = 4 es decir tendremos dos valores, la mitad de ellos serán verdaderos y la mitad de ellos serán falsos representados así:
P Q
V V
F V
F
F
A demás el cuatro de la respuesta nos indica que la proposición inicial en este caso P debe completar la misma cantidad de reglones y en su mismo ciclo así:
P Q
V V
F V
V F
F F
2n = 2³ = 8 es decir tendremos dos valores la mitad de ellos serán verdaderos y la mitad de ellos serán falsos representados así:
P Q R
V V V
F V V
V F V
F F V
V V F
F V F
V F F
F F F
Negación: El valor de verdad de la negación es el contrario de la proposición negada.
P | ~P |
V | F |
F | V |
Cuando tenemos una proposición afirmativa, como el caso de llueve, la representamos por P y su valor negado será el contrario, es decir ~P
P | v | Q |
V | V | V |
F | V | V |
V | V | F |
F | F | F |
Disyunción Inclusiva: La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos componentes. Partamos del siguiente enunciado, ‘se necesita empleada que sepa al menos un idioma’ la proposición será: Hannah sabe inglés o francés, que es representado por P v Q. En el caso que sepa o los dos idiomas o uno solo podrá ser considerada para el puesto.
P | w | Q |
V | F | V |
F | V | V |
V | V | F |
F | F | F |
Disyunción Exclusiva: Sólo podrá ser verdadera si se cumple uno de los dos enunciados y por ello el otro queda necesariamente excluido. Partamos de la siguiente proposición ‘O es de día o es de noche’, representada por P W Q. Si se cumple una necesariamente la otra queda sin poder cumplirse.
P | ^ | Q |
V | V | V |
F | F | V |
V | F | F |
F | F | F |
Conjunción: Solamente si las componentes de la conjunción son ciertas, la conjunción es cierta. Partamos de la siguiente proposición Carlos y Jarod van al cine, representada por P ^ Q. Por tanto, en los demás casos será falsa.
P | → | Q |
V | V | V |
F | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
Condicional: El condicional solamente es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. De la verdad no se puede seguir la falsedad. Partamos de la siguiente proposición ‘Sólo cuando llueve en Bogotá hace frió’. Representada por P →Q.
P | ↔ | Q |
V | V | V |
F | F | V |
V | F | F |
F | V | F |
Bicondicional: El bicondicional solamente es cierto si sus componentes tienen el mismo valor de verdad. Partamos de la siguiente proposición ‘me casaré si y sólo si terminamos la carrera’. Representada por P ↔Q Se deben cumplir ambas condiciones para ser verdadero.
P | ↓ | Q |
V | F | V |
F | F | V |
V | F | F |
F | V | F |
Binegación: Sólo en el caso de que ambas sean falsas será verdadera. Partamos de la siguiente proposición ‘Felipe ni hace ni deja hacer’ representada por P ↓ Q.
P | / | Q |
V | V | V |
F | F | V |
V | F | F |
F | F | F |
Incompatibilidad: Dos proposiciones son entre sí incompatibles cuando no pueden ser ambas a la vez ciertas P / Q.
Hay, pues, tres tipos de proposiciones:
Se denomina tautología en retórica, al nombre que recibe la repetición de un mismo pensamiento en diversas formas; en la lógica una proposición que es cierta para cualquier valor de verdad de sus componentes. Por tanto, la última columna de su tabla de verdad estará formada únicamente por respuestas verdaderas; y corresponde a formas de pensar siempre correctas.
Ejemplo: El principio de contradicción: No sucede que Carlos pueda ser buen y mal abogado al mismo tiempo:
P~ (P ^~P)
V F F
V F V
Contradicción es la negación de una tautología, luego es una proposición falsa cualquiera sea el valor de verdad de sus componentes. La última columna de la tabla de verdad de una contradicción estará formada únicamente por respuestas falsas; y corresponde a formas de pensar incorrectas.
Indeterminada cuando en la parte final después de realizar una tabla de verdad nos da como resultado una respuesta combinada entre verdaderas y falsas sin importar el número de ellas, ni cual predomina; y corresponde a formas de pensar casi siempre incorrectas.
A partir del manejo convencional de las funciones lógicas expuestas, podemos desarrollar formalizaciones más complejas, que de cualquier forma seguirían siendo elementos primitivos de cualquier sistema de lógica.
Por ejemplo, la fórmula P^Q→R, será la conjunción de P y Q con R, mientras que la fórmula P→Q^R expresará la conjunción de P, con Q y R.
De igual manera, si entendemos que el operador N siempre afecta a una proposición colocada a su derecha, y el operador K une dos proposiciones -atómicas o moleculares-, es claro que las expresiones ~P^Q y ~P^Q son distintas. En la primera, lo negado es toda la conjunción (P^Q); en la segunda, lo negado solamente es el primer elemento, p. El desarrollo de su tabla de verdad demuestra que sus condiciones de verdad difieren:[1]
En relación a los enunciados o proposiciones moleculares, cabe señalar que su verdad depende de la verdad de los enunciados atómicos que lo forman, y de las relaciones que entre ellos se establezcan (conjunción, disyunción u otra)[2].
El cálculo proposicional puede ser axiomatizado si se cuenta con un procedimiento efectivo para determinar, en relación a toda frase bien formada, si es o no un axioma. A través de este sistema formal se manipulan las proposiciones con el fin de llegar a nuevas proposiciones; a las primeras se denominan "axiomas" y a las segundas, "teoremas".
Álvaro Rodríguez Tirado, en "Lógica Deóntica y Modelos Semánticos"[3], señala que toda base axiomática debe contener:
- Una lista de símbolos primitivos.
- Un conjunto de reglas de formación que nos permitan determinar qué fórmulas han de ser consideradas frases bien formadas.
- Un conjunto seleccionado de frases bien formadas conocido como axiomas.
- Un conjunto de reglas de transformación, que permitan diversas operaciones con los axiomas y también con las frases bien formadas, obtenidas mediante previas aplicaciones de las reglas de transformación.
Mediante las reglas de formación y transformación de un sistema axiomático, se pueden hacer dos cosas distintas:[4]
- Un conjunto seleccionado de frases bien formadas conocido como axiomas.
- Un conjunto de reglas de transformación, que permitan diversas operaciones con los axiomas y también con las frases bien formadas, obtenidas mediante previas aplicaciones de las reglas de transformación.
Mediante las reglas de formación y transformación de un sistema axiomático, se pueden hacer dos cosas distintas:[4]
- Establecer un sistema de símbolos y sus reglas para manipularlos
- Dar una interpretación o asignar un significado a esos símbolos o fórmulas.
Si únicamente sucede lo primero, se tendrá un sistema sin interpretar; si se hacen las dos cosas, el resultado será un sistema interpretado.
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