LÓGICA DE CONJUNTOS

En la teoría se consideran como primitivos o términos no definidos los conjuntos y los elementos. En general, se designan los conjuntos usando letras latinas mayúsculas y los elementos con letras minúsculas.

Intuitivamente, un conjunto es una colección o clase de objetos bien definidos. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.
Si un objeto x es elemento de un conjunto A, se escribe:

x Î A.

que se puede leer también “x pertenece a A” o “x está en A”. Si por el contrario, un objeto x no es elemento de un conjunto A, se escribe:

x Ï A.

Un conjunto se puede definir haciendo la presentación efectiva de cada uno de sus elementos, así el conjunto A cuyos elementos son 3, 5, 7, se escribe:

A = { 3, 5, 7}

Esto se conoce como expresión por extensión del conjunto.
Otra forma de definir un conjunto es enunciando una propiedad que permita seleccionar de un conjunto ya formado, aquellos que verifiquen dicha propiedad. Por ejemplo, dentro del conjunto de los números podemos seleccionar el conjunto B de los números impares, en este caso se emplea una letra, por lo general x, para representar un elemento cualquiera y se escribe:

B = {x / x es impar}

lo que se lee: "B es el conjunto de los números x tales que x es impar". Esta forma de definir un conjunto de llama por comprensión.

Definiciones
Igualdad de Conjuntos. El conjunto A es igual al conjunto B si ambos tienen los mismos elementos; es decir, si cada elemento de A es también elemento de B y recíprocamente.

Luego, podemos escribir:

(A = B) ↔ (∀x) (x Î A → x Î B).

 Subconjuntos. Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Esta relación se denomina relación de inclusión y se denota como: A ⊂ B.

Simbólicamente esto se puede expresar así:

(A ⊂ B) ↔ (∀ x) (x Î A Î → Î B)

Esta relación también se puede leer: "A está contenido en B", "A es una parte de B". Para expresar que A no está contenido en B,

Escribimos: A ⊂ B.

Con esta definición de subconjunto se puede dar de otra manera la definición de igualdad de dos conjuntos, así:

(A = B) ↔ (A ⊂ B) ^ (B ⊂ A)

Puesto que todo conjunto A es subconjuto de si mismo, se dirá que A es un subconjunto propio de B; si A es subconjuto de B y A no es igual a B. Más brevemente, A es subconjuto propio de B si A ⊂ B y A ≠ B. Esta situación puede representarse mediante un diagrama así:

Subconjunto

Conjunto Universal. Es el conjunto de todos los elementos en discusión. También se le llama dominio de discusión o referencial.
El conjunto universal se designa con el símbolo 1.

Conjunto Vacío. Es el conjunto que carece de elementos. Este conjunto se denotará por 0. Un conjunto vacío se puede definir mediante una propiedad que sea contradictoria, por ejemplo:

Sea A = {x / x² = 4 ^ x es impar}.

Conjunto de Partes de un Conjunto. El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto A, se denomina conjunto de partes de A y se denota P (A).

En consecuencia,

x Î P(A) ↔x ⊂ A

 
P(A) = {x / x ⊂ A}

Operaciones Fundamentales con Conjuntos.

Unión. La unión de los conjuntos A y B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota la unión de A y B por A + B y se llama unión de A y B.

En consecuencia,

x Î (A + B) ↔ x Î A v x Î B.

Entonces se puede expresar por comprensión este conjunto así:

A + B = {x / x Î A v x Î B}

Una interpretación gráfica de la unión de A y B es la siguiente:

Unión

En la gráfica la región rayada corresponde a la unión de A y B. Se presentan los conjuntos dentro de un rectángulo que representa el conjunto referencial del cual se seleccionan los conjuntos A y B.

Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que son comunes a A y a B, esto es, aquellos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. Se denota la intersección de A y B por A ^

 B y se lee "A intersección B".

En consecuencia,

x Î A^ B ↔ x Î A ^ x Î B.

El conjunto A ^

 B está dado por:

A^B = {x / x Î A ^ x Î B }.

Gráficamente, una representación de A^ B es:

 

Intersección

La región rayada corresponde a A ^ B. Cuando A y B no tienen elementos comunes, se dice que son disjuntos.

Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A, es decir, el conjunto de todos los elementos que están en el Universal y no están en A. El complemento de A se denota por A'.

En consecuencia,

x Î A' ↔ x Î 1 ^ x Ï A.

Gráficamente, su representación está dada por:

Complemento

A' = {x / x Î 1 Î x Ï A}.